A MATEMÁTICA É UMA ABORDAGEM REDUCIONISTA DO SER.

Euclides no Livro VII da obra "Os elementos" define que:

1. Unidade é aquilo segundo o qual cada uma das coisas existentes é dita uma.

2. E número é a quantidade composta de unidades.

(EUCLIDES. Os elementos; tradução e introdução de Irineu Bicudo. São Paulo: Editora UNESP, 2009, p. 269-270.)

Todavia, a realidade objetiva é constituída de forma contínua, nada está separado de nada, pois se alguma coisa há (na definição de Mário Ferreira dos Santos que pode ser encontrada aqui), esta não admite descontinuidade.

Mas, a mente precisa separar para compreender, essa separação é operada mediante a transformação da realidade contínua em realidade discreta, e assim gera-se o conceito de número.

O número é, portanto, uma abstração com base em dados mensuráveis, o conceito de quantidade é um relativo discreto diante de um absoluto contínuo.

A série de números é uma série de abstrações, que desconsideram os aspectos qualitativos do real, e se centram numa abordagem que reduz a continuidade da totalidade por meio de idéias que visualizam aspectos parciais do todo.

O número é uma pequena forma, uma fórmula, que reduz uma realidade extremamente mais complexa.

Logo, a matemática é um tipo de idioma que aborda a realidade com uma linguagem redutora dos objetos a seus aspectos quantitativos, com base numa abstração operada por símbolos, que significam quantidade mensuradas de forma discreta.

Ou seja, números matemáticos são pedaços do real extraídas abstratamente de uma realidade concreta e contínua.

Há um permanente processo de raciocínio lógico na matemática, pois a sua própria aceitação necessita de alguns passos que podem ser enumerados assim:

a) abstração de uma realidade concreta e contínua por meio de criação de um símbolo que representa uma determinada quantidade discreta e abstrata, o conceito de número;

b) criação de um idioma específico (figuras geométricas, números romanos, números árabes) que traduzam os conceitos em padrões transmissíveis de linguagem;

c) descrição de fenômenos e hipóteses com base no princípio quantitativo e abstrato, por meio de sofisticados processos de raciocínios lógicos.

Portanto, o método da ciência matemática é uma redução de um aspecto da realidade, basta lembrar que a matemática tem suas limitações, ela não é a ferramenta adequada para avaliações morais, ou estéticas, a matemática é uma forma especializada de avaliação de dados quantitativos.

Seus limites devem ser reconhecidos, para se evitar a utilização indevida em áreas na qual seu uso é inadequado, temos que lembrar os diversos aspectos da realidade não tangenciados pelo estudo meramente quantitativo.

A ciência, seja a que tem por objeto os números, ou outra qualquer, possui sua linguagem previamente limitada pelo seu objetivo, e, assim, é insuficiente para descrever o todo do real, neste sentido que a filosofia, a religião, a arte, e outras formas de manifestação do conhecimento humano são essenciais para a a preensão e compreensão da realidade.

Não compreender tais circunstâncias implica em grave limitação cognitiva, na forma de uma limitação radical de somente ser capaz de apreender "abstrações" como se fossem objetos reais, é um vício de entendimento à moda kantiana, com toques de compulsão cartesiana de considerar a vida do pensamento como a única forma de vida do ser pensante, não acreditar em realidade objetiva e não considerar que todo dia todo cidadão tem que evacuar outras coisas que não sejam pedantismos pueris! 

O número matemático é uma representação de aspectos discretos (no sentido de separação mental de partes de um todo objetivo), e por isso é possível fazer ciência, todavia, ressalvo que a escolha do aspecto quantitativo do real é insuficiente para responder à maioria absoluta dos problemas da vida.

A questão da harmonia musical e da ordem da realidade em sua expressão matemática, cifras e dados, são elementos descritivos, são linguagens abstratas, pois nas partituras e medidores há a total ausência de emoção, tonalidade e cor, o aspecto qualitativo escapa à descrição matemática, a música e a física não são os "números em si", são meramente a tradução em símbolos de manifestações físicas da realidade.

O caráter abstracionista é um axioma do processo de redução, operado na metodologia matemática, e demais metodologias científicas, afinal, é o estudioso que pretende traduzir em linguagem, seja em prosa, em verso, ou em matemática, um dado do real e não o contrário.

Werner Nabiça Coêlho - 30/11/2016

MÁRIO FERREIRA DOS SANTOS: SÃO DIVISÍVEIS OS CORPOS? (cap. 03)

Observações preliminares.

O Filósofo Mário Ferreira dos Santos sempre advertia no início de suas obras a respeito da importância do vocabulário, e, principalmente, de seu elemento etimológico, e, já nos idos dos anos 1960 ele alertava que utilizaria certas consoantes mudas, já em desuso, mas muito importantes para "apontar  étimos que facilitem a melhor compreensão da formação histórica do têrmo empregado", e, em razão desta técnica de exposição, escolhi realizar as transcrições do texto em seu formato gramatical original (com exceção das tremas).

"SÃO DIVISÍVEIS OS CORPOS?

A divisibilidade é a aptidão de separar as partes que estão unidas. Uma extensão, formalmente considerada, é divisível matemática ou hipotèticamente. Se um corpo é fisicamente divisível, sê-lo-ia por meio mecânico ou por intermédio de reacções químicas. Dir-se-á que uma divisão é metafísica, mas apenas pela acção de um ser superior a nós, como Deus.

Técnicas de Separação de Misturas

É possível a divisibilidade metafísica infinita em acto? Poder-se-ia separar um corpo em partes que seriam em número infinito em acto? Essas partes seriam absolutamente simples, pois, do contrário, seriam, por sua vez, divisíveis, e não se teria atingido a infinitude em acto, mas apenas um número elevado. Essa divisão é impossível por ser absurda, como veremos. Restaria, então, a divisão finita em acto, e também a divisão potencial matemática sem fim, in infinitum, nunca, porém atingindo um têrmo, como se pode considerar quanto à extensão tomada formalmente; não, porém, materialmente.

Quando se afirma que é possível obter-se uma divisão infinita em acto da extensão, afirma-se uma absurdidade. Apenas pode-se admitir uma divisibilidade potencialmente infinita (um divide-se em duas partes, estas em duas outras, que serão quatro; estas em duas, que formarão oito e assim sucessivamente) uma divisibilidade hipotética, como se faz na matemática, não, porém, física, como alguns tentam alegar, como o fêz Zeno de Eléia, Demócrito (com seus átomos-indivísiveis) e muitos autores modernos e antigos, inclusive alguns escoláticos (1).

Em contrário a esta tese, temos a de Aristóteles, comumente aceita pelos escolásticos.

aula-de-filosofia-antiga-aristteles-de-estagira-metafisica

Para expô-la, é mister esclarecer alguns conceitos. As partes integrantes podem ser alíquotas, aliquantas e proporcionais. As partes alíquotas são aquelas cuja repetição iguala ao todo contínuo; aliquantas, aquela que, repetidas, não igualam ao todo; ou o excedem ou não o atingem; são incomensuráveis, como o diâmetro o é para a circunferência. Proporcionais são as que decorrem da mesma divisão ou subdivisão, feitas segundo a mesma proporção, como o todo dividido em dois, e as partes resultantes divididas em duas e, assim sucessivamente, sem alcançar a um fim.

O contínuo matemático não consta de entes simples, mas de partes sem fim divisíveis.

O contínuo é extenso, e a extensão conta de partes extensas, porque é formalmente um todo homogêneo. Matemática ou hipotèticamente, e também metafisicamente, a extensão, enquanto tal, é sempre extensa. Afirmam os defensores desta tese, e o procuram demonstrar, que aquela, assim considerada, não é divisível sem fim em partes alíquotas, mas em partes proporcionais. Em qualquer divisão é obtida alguma parte, e esta divisível pelo meio, em terças, em quartas, sem fim. Por isso, matemàticamente, pode-se dividir a extensão in infinitum. É também postulado pela tese que o contínuo matemático não consta de entes simples sem extensão, como afirmaram os filósofos anteriormente citados. Muitos são os argumentos apresentados em defesa desta tese que, por sua vez, serve de refutação à tese anterior. Se o contínuo constasse de indivísiveis, seriam êstes pontos, sem dimensão, como já vimos, que é a característica de ponto. Ou êles se tocam, ou não. Se se tocam, coincidem, e como não são extensos, não formariam uma extensão, e se não se tocam, não temos mais o contínuo, mas o descontínuo. Muitas provas matemáticas foram apresentadas em defesa desta tese: no quadrado, a diagonal e os lados são incomensuráveis, e se o contínuo constasse de pontos, tal não se daria, como também não se daria na circunferência em relação ao diâmetro.

Um ponto indivisível não pode ter duas faces, pois elas seriam idênticas numa só. O contínuo é um composto potencial, porque dêle se podem extrair as partes, e não um composto actual, porque êle não surge de partes preexistentes, pois se estas fôssem simples, o contínuo constaria de coisas simples. Se compostas, por sua vez, estas seriam formadas de partes compostas ou simples, e assim iríamos ao infinito. A diferença, que há num composto contínuo, e num composto essencial, é que, no primeiro, as partes não preexistem, mas podem ser determinadas, enquanto, no segundo, as partes, de certo modo, são preexistentes ao composto.

Os autores, que combatem esta tese, afirmam que se o contínuo é divisível in infinitum, é êle composto de partes em número infinito. Nêste caso, teríamos uma multidão infinita em acto, o que é absurdo, levando, portanto, a repelir que o contínuo matemático seja divisível em acto, mas apenas a infinitude em potência.

Não satisfeitos com essa argumentação, os defensores da posição contrária argumentam do seguinte modo: possível é tudo que pode realizar-se em acto sem contradição, e se um contínuo matemático é divisível in infinitum, êle poderia, então, actualizar-se, o que seria contraditório. Mas os defensores da tese respondem que não se afirma sua possibilidade simultânea, mas apenas sucessiva e inexaurível.

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Simultâneamente não seria possível esta divisão, mas apenas sucessiva e inexaurìvelmente. Afirmam que a divisibilidade in infinitum  consiste apenas na afirmação de que o contínuo não pode ser exaurido por partes proporcionais. Afirmam outros que Deus, com o seu infinito poder, poderia, então, dividir in infinitum o contínuo matemático, e essas partes seriam, consequentemente, finitas, o que impediria se dissesse que é êle divisível in infinitum. Mas a resposta não se faz esperar, porque, se assim fôssem, estas quantas partes seriam simples, e, então, o contínuo constaria de indivisíveis.  Ademais, as partes podem ser divididas sucessivamente, e não simultâneamente, e porque o contínuo constaria de indivisíveis, o que repugna à demonstração já feita. O argumento de Zeno de Eléia reduz-se, em suma, ao seguinte: se o contínuo fôsse divisível in infinitum não poderia ser percorrido. Contudo êle é percorrido; portanto não é divisível in infinitum. Justifica-se êste argumento, porque, transitando-se uma parte, restaria um número infinito de partes a serem transitadas, o que impediria de alcançar-se o infinito. Se numeramos as partes, realmente tão poderia acontecer. O móvel não transita numerando as partes, mas, sim, por um movimento contínuo, que é extenso, que se extende, porque se o movimento não tivesse extensão também não haveria movimento. Dizem outros que  a tese da divisibilidade do contínuo matemático é inaceitável, porque se é divisível in infinitum, o contínuo menor teria tantas partes iguais quanto o contínuo maior, o que é absurdo. (negritei)

A distinção entre parte proporcionais e partes alíquotas permite compreender a tese. Se as partes fôssem alíquotas, então, sim, tal seria possível, não, porém, se forem proporcionais e desiguais.

Dizem os adversários da tese que o número compõe-se de unidades, e que, portanto, igualmente um contínuo é composto de pontos simples. Mas há disparidade nesta afirmativa, porque o número é uma quantidade discreta, enquanto o contínuo é uma quantidade contínua. O argumento de Zeno de Eléia fundava-se no seguintes silogismo: a magnitude infinita não pode ser percorrida por um tempo infinito; ora, se se dá uma magnitude divísivel in infinitum, ela é infinita; logo, não pode ser transitada pelo tempo finito. Não considerou Zeno, porém, uma distinção bem simples: é que a magnitude infinita em acto não é afirmada, mas apenas a em potência. O tempo finito também é infinito em potência. Se o tempo finito não fôsse infinito em potência, Zeno teria razão. (negritei)

O argumento de Aquiles, apresentado por Zeno, fundava-se de que sendo o espaço divisível in infinitum, aquêle, apesar de sua grande velocidade, não poderia jamais alcançar a tartaruga, desde que esta partisse de um ponto mais distante dêle, porque a infinitude do espaço impediria que êle a alcançasse, pois ao chegar ao ponto, onde ela anteriormente estava, já estaria ela mais distante, e assim sucessivamente. Se realmente tivesse Aquiles que percorrer, partindo de um ponto para o ponto sucessivo, tal estaria certo, mas o movimento daquele é um movimento descontínuo (feito em passos), como também o é o da tartaruga, e o daquele é mais veloz; ou seja, percorre, no mesmo tempo, maior extensão, o que permite que êle a alcance. Note-se que o espaço a ser percorrido pode ser dividido pelos passos de Aquiles. O passo já é qualitativo o que mostra a quantidade inseparável da qualidade, como ainda veremos.

A parte de um todo é sempre menor do que êle. Um ente, sem partes e sem extensão, seria um ente simples e, como tal, por não ter extensão, não é extensistamente comparável a outro. Como poderia a extensão ser constituída do que não é extenso? Já que a idéia de extensão aponta para a tensão ex, centrífuga, que foge de um ponto, o que os defensores desta tese afirmam é a divisibilidade in infinitum do contínuo matemático, do contínuo metafísico. Quanto ao contínuo físico, veremos mais adiante como êles se comportam em oposição a outros postulados, eivados de absurdos, por serem fundamentalmetne contraditórios.

A afirmativa de que o contínuo matemático é composto de indivisíveis e sem extensão leva à afirmação de que a extensão é constituída de não-extensão, o que é contraditório, ou que a essência do extenso seria o não-extenso, pois tratando-se de um todo homogêneo, como é o contínuo matemático, as suas partes são especìficamente idênticas ao todo, e se são elas inextensas, como poderia o todo ser essencialmente extenso? Neste caso, que é o do todo integral homogêneo, o que se atribui essencialmente  ao todo atribui-se à parte, e vice-versa. Portanto, seria patente a contradição. Que o extenso seja produto de uma entidade não extensa, é matéria a ser discutida, mas que seja constituído, em suas partes integrais, de partes inextensas, tal seria absurdo.

 Aporias

Não se palmilha aqui matéria fácil, pois longas são as especulações matemáticas em tôrno dêsse tema, as quais, se aqui reproduzidas, apenas alongariam a matéria, sem grande proveito quanto à explicação, pois as aporias são inegáveis. E elas surgem e se firmam mais comumente entre filósofos menores, por fazerem êstes confusão entre o contínuo matemático ou hipotético e o metafísico, com o contínuo físico. E chegam a afirmar, como fêz Demócrito e também ilustre escolásticos, que, fisicamente, o extenso é composto de entidades inextensas, portanto indivisíveis, átomos, o que nem para o contínuo matemático se pode admitir, quanto mais ainda para o contínuo físico, em face das demonstrações acima apresentadas.

A Cosmologia especula sôbre os entes móveis, isto é, aptos à translação espacial. São êstes entes quantitativos e, consequentemente, exigem o estudo da quantidade contínua e da descontínua, que é fundamental para os posteriores exames cosmológicos.

Temos aí, portanto, o exemplo do êrro cosmológico, que teve grande influência no filosofar.

(1) Também se atribui indevidamente a Pitágoras este tese. Não o colocamos entre os defensores dêsse postulado. A demonstração que teríamos de apresentar seria longa, e fazemo-la nas obras que escrevemos sôbre o pensamento do verdadeiro fundador da filosofia ocidental, tantas vêzes incompreendido, e ao qual se tem atribuído pensamentos que têm sua origem nos chamados pitagóricos, discípulos posteriores.

Mário Ferreira dos Santos, Erros na Filosofia da Natureza, Coleção Uma Nova Consciência, Editora Matese, São Paulo, 1967, p. 19-24.

WOLFGANG SMITH: A BIFURCAÇÃO CARTESIANA

Trata-se de uma breve resenha do primeiro capítulo de "O enigma quântico: desvendando a chave oculta", de Wolfgang Smith.

Smith constata de início a dificuldade filosófica em dar sentido às complexidades inerentes à teoria quântica, e evidencia que o principal problema são “certas premissas metafísicas falsas que têm ocupado uma posição de dominância intelectual desde o tempo de René Descartes” (p. 27)

Tais premissas decorrem da “concepção cartesiana de um mundo externo feito exclusivamente das chamadas res extensae ou ‘coisas extensas’, as quais se supõem serem desprovidas de todos os atributos ou qualidades ‘secundária’, tais como a cor, por exemplo” (p. 27), e tudo aquilo que  não for “uma res extensa passa a ser um ‘objeto de pensamento’ ou, em outras palavras, uma coisa que não tem existência fora de uma res cogitans ou mente particular”(p. 27).

A metafísica cartesiana pressupõem o mundo material independente do pensamento, que seria a realidade primária que origina dados objetivos mensuráveis, enquanto que as qualidades como frutos do pensamento, segundo tal perspectiva, não são uma existência real e independente do pensamento, o que resulta numa realidade considerada secundária, oriunda da subjetividade do sujeito, e por este motivo não é passível de mensuração que confira a desejada certeza científica.

A dicotomia res extensae/res cogitans promove uma “simplificação incalculável do primeiro” (p. 28) por fornecer “um tipo de ‘mundo externo’ que a física matemática poderia em princípio compreender 'sem resíduo’” (p. 28), enquanto se desconsidera tudo o que não for materialmente mensurável.

Smith questiona então: “Como é possível, por exemplo, que a res cogitans tome ciência da res extensa? Através da percepção, sem dúvida; mas, então, o que é que nós percebemos? Ora, em tempos pré-cartesianos, pensava-se - sendo filósofo ou não - que, no ato da percepção visual, por exemplo, nós de fato ‘lançamos o olhar para o mundo exterior” (p. 28). 

 Wolfgang Smith questiona a bifurcação cartesiana por se sustentar em um simplificação da realidade na qual temos um mundo material externo físico e regido por leis matemáticas passível de medição exata, que não corresponde ao mundo percebido pelos sentidos, pois a sensibilidade humana que percebe qualidades (sabores, cores, emoções, etc.) consideradas irreais por serem consideradas construções mentais geradas pela subjetividade da mente humana e por este motivo não passível de medição exata, quando muito de aferição probabilística e estatística influenciadas por fatores não totalmente matematizáveis.

Diante de tal “simplificação incalculável” da realidade, Smith lança a pergunta central para iniciar sua refutação à bifurcação cartesiana: “Como é possível, por exemplo, que a res cogitans tome ciência da res extensa?”, para em seguida proceder ao estudo do ato da percepção visual, uma vez que se trata do meio pela qual ‘lançamos o olhar para o mundo exterior”. Todavia, este é o assunto de outro artigo.

Referência:

SMITH, Wolfgang. O enigma quântico: desvendando a chave oculta. 1. ed. Campinas: Vide Editorial, 2011. 230 p.

CHARLES DARWIN E OS PODERES DAS FORMAS ATRIBUIDAS PELO CRIADOR

A natureza produz alguma engenharia por si própria?

Quem realizaria o controle de qualidade?

Há um senso comum em vigor, que considera a realidade da natureza como um conjunto de sistemas nivelados por baixo, e, um bom exemplo desta proposição de "democracia da natureza", é a defesa intransigente da teoria da seleção natural ou da evolução (que são coisas distintas, mas aqui falo do senso comum), considerado como um processo cego, sem direção, que não se determina, simplesmente ocorre, e, ainda que a natureza produzisse padrões de design, em suas transformações, não tende necessariamente à perfeição, e, pensar o contrário é considerado uma exposição de "argumento ingênuo".

Bem vindo, caro leitor, ao reino dos argumentos maliciosos (somente pessoas inteligentes e críticas não são ingênuas, tal como Sartre, para quem tudo é feito e pensado de má-fé)!

Minha postura é no sentido da objetividade do real, cuja concreção (cf. Mário Ferreira dos Santos) é indício da existência do próprio Deus, e, assim, esta realidade é o objeto da  ciência, e da filosofia, em seu sentido não-ideológico de pesquisa séria, com base em dados, e na demonstração lógica das teses, teorias e hipóteses, conforme a aplicação do princípio da razão suficiente.

A natureza, na perspectiva moderna, é um conjunto de fenômenos materiais, que por sua vez tendem à entropia.

Por outro lado, na perspectiva filosófica tradicional, a natureza é a matéria segunda submissa às causas formal, material, eficiente e final, frutos da causalidade vertical (causa formal em seu mais alto grau) nos termos propugnados por Wolfgang Smith, com base nos princípios metafísicos reais, tão bem descritos por Aristóteles

O mencionado senso comum que defende a cegueira e aleatoriedade do real, ao considerar o conceito de evolução, necessariamente propõe uma ideia de aperfeiçoamento, que tende para  a aceitação de alguma razão final, uma noção de perfeição, portanto, mesmo que não declarado, há a operação de um princípio metafísico, escondido nas entrelinhas do raciocínio.

O próprio Darwin refere-se ao conceito de "desenho inteligente" ao definir a existência de formas primitivas de seres vivos, criadas por Deus, que precedem a operação do meio ambiente, no processo de seleção natural, quando conclui "A origem das espécies":

"Estas leis, tomadas no seu sentido mais lato, são: a lei do crescimento e reprodução; a lei da hereditariedade que implica quase a lei de reprodução; a lei de variabilidade, resultante da ação direta e indireta das condições de existência, do uso e não uso; a lei da multiplicação das espécies em razão bastante elevada para trazer a luta pela existência,  que  tem  como conseqüência  a  seleção  natural,  que  determina  a  divergência de caracteres, a extinção de formas menos aperfeiçoadas. O resultado direto desta  guerra  da  natureza  que  se  traduz  pela  fome  e  pela  morte,  é,  pois,  o  fato  mais admirável  que  podemos conceber,  a  saber:  a  produção  de  animais  superiores.  Não há uma verdadeira grandeza nesta forma de considerar a vida, com os seus poderes diversos atribuídos primitivamente pelo Criador a um pequeno número de formas, ou mesmo a uma só? Ora, enquanto que o nosso planeta, obedecendo à lei  fixa  da  gravitação,  continua  a  girar  na  sua  órbita,  uma  quantidade  infinita  de belas  e  admiráveis  formas,  saídas  de  um  começo  tão  simples,  não  têm  cessado de se desenvolver e desenvolvem-se ainda!" (negritos nossos) (CHARLES DARWIN, "A Origem das Espécies", tradução de Joaquim da Mesquita Paul, médico e professor, LELLO & IRMÃO – EDITORES, PORTO. 2003)

Então fica assim, aquela pessoa que se satisfaz com a ideologia naturalista, propugnadora da tese da verdade da "cegueira imperial da natureza", por favor, deixe-me em paz com minha ingenuidade fundada no mundo objetivo e concreto, pois tal pessoa que se funda na "fé naturalista"  está votada a padecer sob as penas do niilismo e do solipsismo, são cegos que se deixam conduzir por outros cegos em um ato de fé na "razão maliciosa".

Referências:

Aristóteles, Metafísica.

Charles Darwin. A Origem das Espécies.

Mário Ferreira dos Santos. Filosofia Concreta.

Wolfgang Smith, O enigma quântico: desvendando a chave oculta.

Belém, Pará, Brasil, Werner Nabiça Coêlho - 21.12.2016

MÁRIO FERREIRA DOS SANTOS: COMO SÃO AS PARTES DO CONTÍNUO? (cap. 04)

Observações preliminares.

O Filósofo Mário Ferreira dos Santos sempre advertia no início de suas obras a respeito da importância do vocabulário, e, principalmente, de seu elemento etimológico, e, já nos idos dos anos 1960 ele alertava que utilizaria certas consoantes mudas, já em desuso na gramática da língua portuguesa oficialmente em vigor, mas muito importantes para “apontar étimos que facilitem a melhor compreensão da formação histórica do têrmo empregado”, e, em razão desta técnica de exposição, escolhi transcrever o texto em seu formato gramatical original (com exceção das tremas).

***

Antes de adentrarmos no texto cito o paradoxo de Banach-Tarski, na qual o cálculo matemático gera, em abstrato, a “criação” de “extensão” por meio do mecanismo da divisibilidade infinita:

[...] começa com a aplicação do axioma da escolha. Por derivações matemáticas no espaço euclidiano (o espaço usual de três ou mais dimensões em que a geometria é estudada), os dois matemáticos demonstraram que uma esfera de raio fixo pode ser decomposta em um número infinito de partes e novamente montada para formar duas esferas, cada qual com o mesmo raio da esfera original. Esse paradoxo causou grande surpresa entre os matemáticos. (Amir D. Aczel, O mistério do alef: a matemática, a Cabala e a procura do infinito, tradução Ricardo Gouveia, Globo, São Paulo, 2003, p. 156-7)

Esta menção se faz necessária para exemplificar o ponto suscitado por Mário Ferreira dos Santos,  sobre a necessidade do pensamento concreto, que leva em consideração a realidade do objeto, e que se distingue do modo pensar típico da matemática, somente por meio de abstrações, que se desconecta da objetividade do real, e, é por isso que nosso Filósofo se posiciona da seguinte forma:

"que a realidade das partes seria obtida pela divisão, não criada pela divisão; que as partes não estão divididas em acto, mas em designabilidade, e ao dizer que elas são realmente distintas em acto ou potência refere-se ao nosso modo de falar, não quanto à sua realidade."

Feitas estas considerações, passemos para a próxima lição a respeito da cosmologia:

COMO SÃO AS PARTES DO CONTÍNUO?

Afirmam uns que estas partes estão nêle actual e formalmente. Outros negam esta afirmativa, para alegar estarem apenas potencialmente. Uma  terceira posição afirma que estão em acto, mas que, formalmente, estão apenas em potência. A primeira tese é defendida por Suarez, pelos conimbricenses, por João de São Tomás e por Scot. A segunda, por Arríaga, Tongiorgi e Schifini. A terceira, por Mendive, Lahousse e outros. Todos afirmam que a sua tese é a de Aristóteles e de São Tomás. Uma quarta posição afirma que as partes, obtidas pela divisão, já estão no contínuo e não são criadas pela divisão; porém não estão no contínuo em acto, apenas são designáveis. Finalmente, se são elas realmente distintas em acto e potência é o que esta posição pretende estabelecer.

Que as partes devem estar contidas no todo, e que não podem ser criadas ou produzidas pela divisão, é evidente, porque a divisão, por si só, não poderia realizar a realidade das partes. Estas, de qualquer modo, já deveriam estar no todo.

Deveriam estar no todo potencial, e formalmente, e assim o afirmamos, porque, no todo contínuo, as partes são essencialmente idênticas ao todo enquanto extensivo. Se as partes fôssem em acto distintas, o todo não seria contínuo, mas contíguo. Se as partes fôssem em acto, seriam finitas, então, o contínuo exaurir-se-ia por partes finitas, as quais não seriam divisíveis in infinitum. Se as partes fôssem infinitas, dar-se-ia, então, uma multidão infinita em acto, e elas se distinguiriam por seus limites, e constituiriam número.

O facto das partes serem realmente distintas uma das outras, não quer dizer que sejam separadas, porque nem tudo que é distinto é separado.

Ademais, é preciso não esquecer que a divisão matemática é uma divisão mental, que ela, por si só, não realiza divisão. As partes do contínuo não realizam o número, pois êste decorre da divisão, e as partes do contínuo não têm uma dvisão actual, nem limites actuais, mas apenas designáveis. O que na verdade se diz é que, no contínuo, há a realidade das partes, as quais podem ser alcançadas por divisão, e não que elas são criadas por divisão. Não se afirma que, num contínuo, as partes estejam em acto e formalmente, mas apenas que, por divisão, pode-se obter a sua realidade, cuja realidade não é criada pela divisão. Estas são as razões demonstrativas desta quarta posição, que afirmaria, como dissemos acima, que a realidade das partes seria obtida pela divisão, não criada pela divisão; que as partes não estão divididas em acto, mas em designabilidade, e ao dizer que elas são realmente distintas em acto ou potência refere-se ao nosso modo de falar, não quanto à sua realidade. Esta quarta posição, que é a nossa, concilia as três anteriores, e não oferece os perigos que decorrem de cada uma, tomada abstractamente.

Referência:

Mário Ferreira dos Santos, Erros na Filosofia da Natureza, Coleção Uma Nova Consciência, Editora Matese, São Paulo, 1967, p. 25-6.

***

GLOSSÁRIO CONCEITUAL (Gerado por I.A.)

Abstração — Operação intelectual pela qual determinados aspectos de uma realidade são considerados separadamente de outros. No texto, aparece em contraste com o pensamento concreto: a matemática pode trabalhar legitimamente com estruturas abstratas que não precisam corresponder, sem qualificações, ao modo de existência das coisas na realidade física.

Acto (ato) — Conceito clássico da tradição aristotélico-tomista que designa aquilo que se encontra efetivamente realizado, em contraposição ao que existe apenas como possibilidade ou potência. A questão central do texto é justamente determinar em que sentido as partes de um contínuo existem “em acto”.

Axioma da escolha — Princípio da teoria dos conjuntos que, em formulação simplificada, permite selecionar um elemento de cada conjunto pertencente a determinada coleção de conjuntos não vazios, mesmo quando não existe uma regra explícita para realizar todas essas escolhas. É mencionado no documento como elemento essencial da construção matemática associada ao paradoxo de Banach–Tarski.

Contiguidade / contíguo — Situação em que coisas ou partes distintas possuem limites próprios e se encontram umas junto às outras. Mário Ferreira dos Santos contrapõe-a à continuidade: se as partes já estivessem efetivamente distintas “em acto”, o todo seria contíguo, e não propriamente contínuo.

Contínuo — Todo extenso cujas partes não se encontram previamente separadas por limites atuais. Pode ser dividido, mas as divisões possíveis não precisam estar realizadas de antemão. É o objeto fundamental da lição intitulada “Como são as partes do contínuo?”.

Designabilidade — Possibilidade de determinar, indicar ou delimitar intelectualmente uma parte no interior do contínuo sem sustentar que essa parte já esteja atualmente separada das demais. Na quarta posição defendida pelo autor, as partes “não estão divididas em acto, mas em designabilidade”.

Distinção — Diferença real ou conceitual entre coisas ou aspectos de uma coisa. O texto ressalta uma distinção fundamental: ser distinto não significa necessariamente ser separado. Assim, admitir alguma distinção entre partes não obriga a conceber o contínuo como coleção de fragmentos independentes.

Divisão matemática ou mental — Operação intelectual pela qual o contínuo é considerado dividido. Para Mário Ferreira dos Santos, a divisão matemática, por si mesma, não produz uma divisão real no objeto: “é uma divisão mental”.

Divisibilidade in infinitum — Possibilidade de prosseguir indefinidamente na divisão de uma grandeza contínua, sem que seja necessário admitir uma coleção previamente existente de infinitas partes separadas em ato. O argumento do texto associa a natureza do contínuo à impossibilidade de esgotá-lo simplesmente mediante um número finito de partes indivisíveis.

Espaço euclidiano — Espaço matemático estruturado segundo a geometria euclidiana. O documento o caracteriza como o espaço usual de três ou mais dimensões no contexto da explicação introdutória do paradoxo de Banach–Tarski.

Extensão / extensivo — Propriedade associada à quantidade contínua e espacial. No argumento reproduzido, as partes são “essencialmente idênticas ao todo enquanto extensivo”, razão pela qual não devem ser concebidas como unidades atualmente separadas antes da divisão.

Formalmente — Expressão empregada no vocabulário escolástico para indicar determinado modo pelo qual algo possui uma determinação. No debate apresentado, algumas posições distinguem entre as partes estarem no contínuo em ato, em potência ou formalmente, dando origem às diferentes soluções examinadas.

Infinito atual — Infinito concebido como totalidade efetivamente existente e completa. O texto argumenta que admitir infinitas partes já diferenciadas no contínuo produziria uma “multidão infinita em acto”, cujos componentes teriam limites próprios e, portanto, constituiriam número.

Número — No contexto da argumentação, pressupõe unidades distintas e delimitadas. As partes do contínuo, enquanto não atualmente divididas, não constituem número; este surge associado à divisão e à delimitação.

Paradoxo de Banach–Tarski — Resultado matemático segundo o qual, sob determinadas condições da teoria dos conjuntos e mediante o axioma da escolha, uma esfera pode ser decomposta em conjuntos de pontos e reorganizada de modo a produzir duas esferas congruentes à original. O documento o utiliza como exemplo destinado a contrastar uma construção matemático-abstrata com a análise ontológica da realidade do contínuo.

Partes do contínuo — Partes que podem ser obtidas mediante divisão de uma realidade contínua. Na posição adotada por Mário Ferreira dos Santos, a divisão não cria sua realidade; as partes já pertencem ao todo, embora não estejam previamente separadas ou divididas em ato.

Pensamento concreto — Na exposição introdutória do documento, é o pensamento que procura considerar a realidade do objeto e evitar que construções abstratas sejam automaticamente confundidas com estruturas ontologicamente existentes na realidade.

Potência — Na tradição aristotélica, capacidade ou possibilidade real de vir a ser ou assumir determinada atualização. Aplicada ao contínuo, permite sustentar que suas partes podem ser obtidas por divisão sem necessariamente admitir que já estejam separadamente constituídas em ato.

Todo — Unidade da qual as partes fazem parte. O argumento fundamental apresentado afirma que a divisão não poderia, por si mesma, produzir a realidade das partes; portanto, estas devem, de algum modo, encontrar-se anteriormente contidas no todo.

Filósofos, matemáticos e autores citados

As identificações históricas abaixo complementam o documento com conhecimento histórico-filosófico geral; o arquivo, em vários casos, limita-se a mencionar os nomes e a posição doutrinária que lhes atribui.

Mário Ferreira dos Santos (1907–1968) — Filósofo brasileiro e autor de extensa obra dedicada à metafísica, lógica, ontologia e filosofia concreta. É o autor do texto-base reproduzido no documento, extraído de Erros na Filosofia da Natureza, publicado em 1967. O documento também destaca sua preocupação com a etimologia e com a preservação de grafias capazes de evidenciar a formação histórica dos conceitos.

Aristóteles (384–322 a.C.) — Filósofo grego cuja teoria do ato e potência, da quantidade, do infinito e do contínuo constitui uma das matrizes fundamentais do problema discutido. Significativamente, o texto observa que diferentes escolas, apesar de defenderem soluções distintas, reivindicam a própria interpretação como sendo a de Aristóteles e de São Tomás.

São Tomás de Aquino (c. 1225–1274) — Filósofo e teólogo medieval que desenvolveu, dentro da tradição cristã, numerosos elementos da metafísica aristotélica. É referência central para a discussão escolástica sobre ato, potência, matéria, quantidade e continuidade. No texto, diferentes posições reivindicam sua autoridade.

Francisco Suárez (1548–1617) — Filósofo e teólogo escolástico espanhol. Segundo a classificação reproduzida por Mário Ferreira, encontra-se entre os defensores da primeira tese, segundo a qual as partes do contínuo nele estariam “actual e formalmente”.

Conimbricenses — Designação tradicional dos autores jesuítas ligados ao Colégio das Artes de Coimbra, responsáveis pelos célebres comentários aristotélicos publicados nos séculos XVI e XVII. No esquema apresentado pelo texto, são incluídos na primeira posição sobre as partes do contínuo.

João de São Tomás (1589–1644) — Filósofo e teólogo dominicano português, importante representante do tomismo escolástico. É relacionado pelo texto, juntamente com Suárez, os conimbricenses e Scot, à primeira tese acerca das partes do contínuo.

Scot — João Duns Scotus (c. 1265/66–1308) — Filósofo e teólogo franciscano medieval, conhecido como Doctor Subtilis. O documento utiliza a forma abreviada “Scot” e o inclui entre os representantes da primeira posição.

Rodrigo de Arriaga (1592–1667) — Filósofo e teólogo jesuíta espanhol, importante representante da escolástica moderna. No texto aparece grafado “Arríaga” e é situado na segunda posição, segundo a qual as partes estariam apenas potencialmente no contínuo.

Salvatore Tongiorgi (1820–1865) — Filósofo jesuíta italiano associado à renovação da filosofia escolástica no século XIX. É mencionado, juntamente com Arríaga e Schifini, entre os representantes da segunda tese.

Santo Schiffini/Schifini — Autor escolástico mencionado no documento sob a grafia “Schifini”, integrante da segunda posição. Como o próprio arquivo não fornece prenome, obra ou dados biográficos, a identificação bibliográfica exata deve ser verificada antes de incorporá-la a uma edição crítica do glossário.

José Mendive (1836–1906) — Filósofo jesuíta espanhol ligado à tradição neoescolástica. É colocado pelo texto na terceira posição, segundo a qual as partes estariam em ato, embora formalmente apenas em potência.

Gustave Lahousse (1846–1905) — Filósofo e teólogo jesuíta belga associado à tradição neoescolástica. É relacionado, juntamente com Mendive, à terceira solução do problema do contínuo.

Stefan Banach (1892–1945) — Matemático polonês, um dos fundadores da análise funcional moderna. Seu nome está associado, com Alfred Tarski, ao teorema/paradoxo de Banach–Tarski utilizado na introdução do documento.

Alfred Tarski (1901–1983) — Matemático e lógico polonês-americano, figura fundamental da lógica matemática e da teoria semântica da verdade. Com Banach, demonstrou o resultado que ficou conhecido como paradoxo de Banach–Tarski.

Amir D. Aczel (1950–2015) — Escritor e divulgador da matemática. É o autor da obra O mistério do alef: a matemática, a Cabala e a procura do infinito, citada no documento como fonte para a apresentação do paradoxo de Banach–Tarski.

Síntese conceitual para acompanhar o glossário

A estrutura filosófica do texto pode ser condensada na seguinte sequência:

TODO CONTÍNUO → PARTES DESIGNÁVEIS → DIVISÃO → PARTES DELIMITADAS

O ponto decisivo está entre designabilidade e divisão. Para a quarta posição adotada por Mário Ferreira dos Santos, não se deve imaginar que o todo contínuo seja, antes da divisão, uma espécie de recipiente formado por incontáveis pedaços já separados. Tampouco a divisão possuiria o poder ontológico de criar aquilo que antes não existia. A realidade das partes pertence ao contínuo, mas sua delimitação enquanto partes determinadas é alcançada pela divisão. É por isso que o autor conclui que a realidade das partes é “obtida pela divisão, não criada pela divisão”.

Essa distinção fornece precisamente a chave filosófica utilizada no documento para colocar o paradoxo de Banach–Tarski em diálogo com a filosofia do contínuo: uma possibilidade demonstrável dentro de determinado sistema matemático abstrato não deve ser imediatamente convertida numa afirmação sobre aquilo que uma esfera material pode sofrer na realidade física.