MÁRIO FERREIRA DOS SANTOS: COMO SÃO AS PARTES DO CONTÍNUO? (cap. 04)

Observações preliminares.

O Filósofo Mário Ferreira dos Santos sempre advertia no início de suas obras a respeito da importância do vocabulário, e, principalmente, de seu elemento etimológico, e, já nos idos dos anos 1960 ele alertava que utilizaria certas consoantes mudas, já em desuso na gramática da língua portuguesa oficialmente em vigor, mas muito importantes para “apontar étimos que facilitem a melhor compreensão da formação histórica do têrmo empregado”, e, em razão desta técnica de exposição, escolhi transcrever o texto em seu formato gramatical original (com exceção das tremas).

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Antes de adentrarmos no texto cito o paradoxo de Banach-Tarski, na qual o cálculo matemático gera, em abstrato, a “criação” de “extensão” por meio do mecanismo da divisibilidade infinita:

[...] começa com a aplicação do axioma da escolha. Por derivações matemáticas no espaço euclidiano (o espaço usual de três ou mais dimensões em que a geometria é estudada), os dois matemáticos demonstraram que uma esfera de raio fixo pode ser decomposta em um número infinito de partes e novamente montada para formar duas esferas, cada qual com o mesmo raio da esfera original. Esse paradoxo causou grande surpresa entre os matemáticos. (Amir D. Aczel, O mistério do alef: a matemática, a Cabala e a procura do infinito, tradução Ricardo Gouveia, Globo, São Paulo, 2003, p. 156-7)

Esta menção se faz necessária para exemplificar o ponto suscitado por Mário Ferreira dos Santos,  sobre a necessidade do pensamento concreto, que leva em consideração a realidade do objeto, e que se distingue do modo pensar típico da matemática, somente por meio de abstrações, que se desconecta da objetividade do real, e, é por isso que nosso Filósofo se posiciona da seguinte forma:

"que a realidade das partes seria obtida pela divisão, não criada pela divisão; que as partes não estão divididas em acto, mas em designabilidade, e ao dizer que elas são realmente distintas em acto ou potência refere-se ao nosso modo de falar, não quanto à sua realidade."

Feitas estas considerações, passemos para a próxima lição a respeito da cosmologia:

COMO SÃO AS PARTES DO CONTÍNUO?

Afirmam uns que estas partes estão nêle actual e formalmente. Outros negam esta afirmativa, para alegar estarem apenas potencialmente. Uma  terceira posição afirma que estão em acto, mas que, formalmente, estão apenas em potência. A primeira tese é defendida por Suarez, pelos conimbricenses, por João de São Tomás e por Scot. A segunda, por Arríaga, Tongiorgi e Schifini. A terceira, por Mendive, Lahousse e outros. Todos afirmam que a sua tese é a de Aristóteles e de São Tomás. Uma quarta posição afirma que as partes, obtidas pela divisão, já estão no contínuo e não são criadas pela divisão; porém não estão no contínuo em acto, apenas são designáveis. Finalmente, se são elas realmente distintas em acto e potência é o que esta posição pretende estabelecer.

Que as partes devem estar contidas no todo, e que não podem ser criadas ou produzidas pela divisão, é evidente, porque a divisão, por si só, não poderia realizar a realidade das partes. Estas, de qualquer modo, já deveriam estar no todo.

Deveriam estar no todo potencial, e formalmente, e assim o afirmamos, porque, no todo contínuo, as partes são essencialmente idênticas ao todo enquanto extensivo. Se as partes fôssem em acto distintas, o todo não seria contínuo, mas contíguo. Se as partes fôssem em acto, seriam finitas, então, o contínuo exaurir-se-ia por partes finitas, as quais não seriam divisíveis in infinitum. Se as partes fôssem infinitas, dar-se-ia, então, uma multidão infinita em acto, e elas se distinguiriam por seus limites, e constituiriam número.

O facto das partes serem realmente distintas uma das outras, não quer dizer que sejam separadas, porque nem tudo que é distinto é separado.

Ademais, é preciso não esquecer que a divisão matemática é uma divisão mental, que ela, por si só, não realiza divisão. As partes do contínuo não realizam o número, pois êste decorre da divisão, e as partes do contínuo não têm uma dvisão actual, nem limites actuais, mas apenas designáveis. O que na verdade se diz é que, no contínuo, há a realidade das partes, as quais podem ser alcançadas por divisão, e não que elas são criadas por divisão. Não se afirma que, num contínuo, as partes estejam em acto e formalmente, mas apenas que, por divisão, pode-se obter a sua realidade, cuja realidade não é criada pela divisão. Estas são as razões demonstrativas desta quarta posição, que afirmaria, como dissemos acima, que a realidade das partes seria obtida pela divisão, não criada pela divisão; que as partes não estão divididas em acto, mas em designabilidade, e ao dizer que elas são realmente distintas em acto ou potência refere-se ao nosso modo de falar, não quanto à sua realidade. Esta quarta posição, que é a nossa, concilia as três anteriores, e não oferece os perigos que decorrem de cada uma, tomada abstractamente.

Referência:

Mário Ferreira dos Santos, Erros na Filosofia da Natureza, Coleção Uma Nova Consciência, Editora Matese, São Paulo, 1967, p. 25-6.

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GLOSSÁRIO CONCEITUAL (Gerado por I.A.)

Abstração — Operação intelectual pela qual determinados aspectos de uma realidade são considerados separadamente de outros. No texto, aparece em contraste com o pensamento concreto: a matemática pode trabalhar legitimamente com estruturas abstratas que não precisam corresponder, sem qualificações, ao modo de existência das coisas na realidade física.

Acto (ato) — Conceito clássico da tradição aristotélico-tomista que designa aquilo que se encontra efetivamente realizado, em contraposição ao que existe apenas como possibilidade ou potência. A questão central do texto é justamente determinar em que sentido as partes de um contínuo existem “em acto”.

Axioma da escolha — Princípio da teoria dos conjuntos que, em formulação simplificada, permite selecionar um elemento de cada conjunto pertencente a determinada coleção de conjuntos não vazios, mesmo quando não existe uma regra explícita para realizar todas essas escolhas. É mencionado no documento como elemento essencial da construção matemática associada ao paradoxo de Banach–Tarski.

Contiguidade / contíguo — Situação em que coisas ou partes distintas possuem limites próprios e se encontram umas junto às outras. Mário Ferreira dos Santos contrapõe-a à continuidade: se as partes já estivessem efetivamente distintas “em acto”, o todo seria contíguo, e não propriamente contínuo.

Contínuo — Todo extenso cujas partes não se encontram previamente separadas por limites atuais. Pode ser dividido, mas as divisões possíveis não precisam estar realizadas de antemão. É o objeto fundamental da lição intitulada “Como são as partes do contínuo?”.

Designabilidade — Possibilidade de determinar, indicar ou delimitar intelectualmente uma parte no interior do contínuo sem sustentar que essa parte já esteja atualmente separada das demais. Na quarta posição defendida pelo autor, as partes “não estão divididas em acto, mas em designabilidade”.

Distinção — Diferença real ou conceitual entre coisas ou aspectos de uma coisa. O texto ressalta uma distinção fundamental: ser distinto não significa necessariamente ser separado. Assim, admitir alguma distinção entre partes não obriga a conceber o contínuo como coleção de fragmentos independentes.

Divisão matemática ou mental — Operação intelectual pela qual o contínuo é considerado dividido. Para Mário Ferreira dos Santos, a divisão matemática, por si mesma, não produz uma divisão real no objeto: “é uma divisão mental”.

Divisibilidade in infinitum — Possibilidade de prosseguir indefinidamente na divisão de uma grandeza contínua, sem que seja necessário admitir uma coleção previamente existente de infinitas partes separadas em ato. O argumento do texto associa a natureza do contínuo à impossibilidade de esgotá-lo simplesmente mediante um número finito de partes indivisíveis.

Espaço euclidiano — Espaço matemático estruturado segundo a geometria euclidiana. O documento o caracteriza como o espaço usual de três ou mais dimensões no contexto da explicação introdutória do paradoxo de Banach–Tarski.

Extensão / extensivo — Propriedade associada à quantidade contínua e espacial. No argumento reproduzido, as partes são “essencialmente idênticas ao todo enquanto extensivo”, razão pela qual não devem ser concebidas como unidades atualmente separadas antes da divisão.

Formalmente — Expressão empregada no vocabulário escolástico para indicar determinado modo pelo qual algo possui uma determinação. No debate apresentado, algumas posições distinguem entre as partes estarem no contínuo em ato, em potência ou formalmente, dando origem às diferentes soluções examinadas.

Infinito atual — Infinito concebido como totalidade efetivamente existente e completa. O texto argumenta que admitir infinitas partes já diferenciadas no contínuo produziria uma “multidão infinita em acto”, cujos componentes teriam limites próprios e, portanto, constituiriam número.

Número — No contexto da argumentação, pressupõe unidades distintas e delimitadas. As partes do contínuo, enquanto não atualmente divididas, não constituem número; este surge associado à divisão e à delimitação.

Paradoxo de Banach–Tarski — Resultado matemático segundo o qual, sob determinadas condições da teoria dos conjuntos e mediante o axioma da escolha, uma esfera pode ser decomposta em conjuntos de pontos e reorganizada de modo a produzir duas esferas congruentes à original. O documento o utiliza como exemplo destinado a contrastar uma construção matemático-abstrata com a análise ontológica da realidade do contínuo.

Partes do contínuo — Partes que podem ser obtidas mediante divisão de uma realidade contínua. Na posição adotada por Mário Ferreira dos Santos, a divisão não cria sua realidade; as partes já pertencem ao todo, embora não estejam previamente separadas ou divididas em ato.

Pensamento concreto — Na exposição introdutória do documento, é o pensamento que procura considerar a realidade do objeto e evitar que construções abstratas sejam automaticamente confundidas com estruturas ontologicamente existentes na realidade.

Potência — Na tradição aristotélica, capacidade ou possibilidade real de vir a ser ou assumir determinada atualização. Aplicada ao contínuo, permite sustentar que suas partes podem ser obtidas por divisão sem necessariamente admitir que já estejam separadamente constituídas em ato.

Todo — Unidade da qual as partes fazem parte. O argumento fundamental apresentado afirma que a divisão não poderia, por si mesma, produzir a realidade das partes; portanto, estas devem, de algum modo, encontrar-se anteriormente contidas no todo.

Filósofos, matemáticos e autores citados

As identificações históricas abaixo complementam o documento com conhecimento histórico-filosófico geral; o arquivo, em vários casos, limita-se a mencionar os nomes e a posição doutrinária que lhes atribui.

Mário Ferreira dos Santos (1907–1968) — Filósofo brasileiro e autor de extensa obra dedicada à metafísica, lógica, ontologia e filosofia concreta. É o autor do texto-base reproduzido no documento, extraído de Erros na Filosofia da Natureza, publicado em 1967. O documento também destaca sua preocupação com a etimologia e com a preservação de grafias capazes de evidenciar a formação histórica dos conceitos.

Aristóteles (384–322 a.C.) — Filósofo grego cuja teoria do ato e potência, da quantidade, do infinito e do contínuo constitui uma das matrizes fundamentais do problema discutido. Significativamente, o texto observa que diferentes escolas, apesar de defenderem soluções distintas, reivindicam a própria interpretação como sendo a de Aristóteles e de São Tomás.

São Tomás de Aquino (c. 1225–1274) — Filósofo e teólogo medieval que desenvolveu, dentro da tradição cristã, numerosos elementos da metafísica aristotélica. É referência central para a discussão escolástica sobre ato, potência, matéria, quantidade e continuidade. No texto, diferentes posições reivindicam sua autoridade.

Francisco Suárez (1548–1617) — Filósofo e teólogo escolástico espanhol. Segundo a classificação reproduzida por Mário Ferreira, encontra-se entre os defensores da primeira tese, segundo a qual as partes do contínuo nele estariam “actual e formalmente”.

Conimbricenses — Designação tradicional dos autores jesuítas ligados ao Colégio das Artes de Coimbra, responsáveis pelos célebres comentários aristotélicos publicados nos séculos XVI e XVII. No esquema apresentado pelo texto, são incluídos na primeira posição sobre as partes do contínuo.

João de São Tomás (1589–1644) — Filósofo e teólogo dominicano português, importante representante do tomismo escolástico. É relacionado pelo texto, juntamente com Suárez, os conimbricenses e Scot, à primeira tese acerca das partes do contínuo.

Scot — João Duns Scotus (c. 1265/66–1308) — Filósofo e teólogo franciscano medieval, conhecido como Doctor Subtilis. O documento utiliza a forma abreviada “Scot” e o inclui entre os representantes da primeira posição.

Rodrigo de Arriaga (1592–1667) — Filósofo e teólogo jesuíta espanhol, importante representante da escolástica moderna. No texto aparece grafado “Arríaga” e é situado na segunda posição, segundo a qual as partes estariam apenas potencialmente no contínuo.

Salvatore Tongiorgi (1820–1865) — Filósofo jesuíta italiano associado à renovação da filosofia escolástica no século XIX. É mencionado, juntamente com Arríaga e Schifini, entre os representantes da segunda tese.

Santo Schiffini/Schifini — Autor escolástico mencionado no documento sob a grafia “Schifini”, integrante da segunda posição. Como o próprio arquivo não fornece prenome, obra ou dados biográficos, a identificação bibliográfica exata deve ser verificada antes de incorporá-la a uma edição crítica do glossário.

José Mendive (1836–1906) — Filósofo jesuíta espanhol ligado à tradição neoescolástica. É colocado pelo texto na terceira posição, segundo a qual as partes estariam em ato, embora formalmente apenas em potência.

Gustave Lahousse (1846–1905) — Filósofo e teólogo jesuíta belga associado à tradição neoescolástica. É relacionado, juntamente com Mendive, à terceira solução do problema do contínuo.

Stefan Banach (1892–1945) — Matemático polonês, um dos fundadores da análise funcional moderna. Seu nome está associado, com Alfred Tarski, ao teorema/paradoxo de Banach–Tarski utilizado na introdução do documento.

Alfred Tarski (1901–1983) — Matemático e lógico polonês-americano, figura fundamental da lógica matemática e da teoria semântica da verdade. Com Banach, demonstrou o resultado que ficou conhecido como paradoxo de Banach–Tarski.

Amir D. Aczel (1950–2015) — Escritor e divulgador da matemática. É o autor da obra O mistério do alef: a matemática, a Cabala e a procura do infinito, citada no documento como fonte para a apresentação do paradoxo de Banach–Tarski.

Síntese conceitual para acompanhar o glossário

A estrutura filosófica do texto pode ser condensada na seguinte sequência:

TODO CONTÍNUO → PARTES DESIGNÁVEIS → DIVISÃO → PARTES DELIMITADAS

O ponto decisivo está entre designabilidade e divisão. Para a quarta posição adotada por Mário Ferreira dos Santos, não se deve imaginar que o todo contínuo seja, antes da divisão, uma espécie de recipiente formado por incontáveis pedaços já separados. Tampouco a divisão possuiria o poder ontológico de criar aquilo que antes não existia. A realidade das partes pertence ao contínuo, mas sua delimitação enquanto partes determinadas é alcançada pela divisão. É por isso que o autor conclui que a realidade das partes é “obtida pela divisão, não criada pela divisão”.

Essa distinção fornece precisamente a chave filosófica utilizada no documento para colocar o paradoxo de Banach–Tarski em diálogo com a filosofia do contínuo: uma possibilidade demonstrável dentro de determinado sistema matemático abstrato não deve ser imediatamente convertida numa afirmação sobre aquilo que uma esfera material pode sofrer na realidade física.